Halaman
47Persamaan Garis LurusDalam melakukan sebuah pendakian, para pendaki pasti akan melewati berbagai jenis jalanan. Adakalanya mereka menemui jalan yang lurus, terjal dan berkelok-kelok. Tidak jarang mereka pun menghadapi jalan yang curam dan menanjak dengan kemiringan tertentu. Kemiringan suatu jalanan dapat dilukiskan dalam sebuah garis. Kemi-ringan suatu garis dalam matematika dikenal dengan istilah gradien. BabPersamaan Garis LurusSetelah mempelajari bab ini siswa diharapkan mampu:• Mengenal persamaan garis lurus dalam berbagai bentuk dan variabel;• Menggambar graÀ k pada bidang kartesius;• Mengenal pengertian garis lurus dan gradien;• Menentukan gradien garis lurus serta persamaan garisnya;• Menentukan koordinat titik potong dua buah garis;• Menggunakan konsep persamaan garis dalam kehidupan sehari-hari.Tujuan PembelajaranTujuan Pembelajaran
48Matematika SMP Kelas VIII48444848488484484884Matatatattteeemaemaemaemememmaeeeeetikika a SSMP PKelKlllaas VVIIIPeta konsepC. Menentukan persamaan garis1. Gradien garis yang melalui titik pusat (0, 0) dan titik (x, y)D. Titik potong dua buah garis2. Gradien garis yang melalui dua buah titik (x1,y1) dan (x2,y2)3. Gradien garis yang sejajar sumbu x dan sumbu y4. Gradien garis yang saling sejajar5. Gradien garis yang saling tegak lurusB. Gradien1. Sistem koordinat kartesius3. Menggambar garis lurus pada bidang kartesius111GGGGGraadidididididennggarariiiisisyyyyaananggmememelllllallllluluuiiiii4. Menentukan persamaan garis yang digambar pada bidang kartesiusA. Persamaan garis33333333MMMMMMMMMennenenenngggggggggamamamammbbbbbbbabababababarrrrrgagagagagagiiiiiiriririririssssslllllllulululuuruururururussssspapapapapapaddddddddadadadadada2. Pengertian persamaan garisE. Penerapan konsep persamaan garis lurus dalam kehidupanPersamaan garis lurus1. Menentukan persamaan garis yang melalui sebuah titik (a, b) dengan gradien m2. Menentukan persamaan garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2)3. Menentukan persamaan garis yang sejajar dengan garis lain dan melalui sebuah titik 4. Menentukan persamaan garis yang tegak lurus dengan garis lain dan melalui sebuah titik
49Persamaan Garis LurusPada saat duduk di bangku sekolah dasar, kalian pernah mempelajari sistem koordinat kartesius, bukan? Coba kalian ingat-ingat kembali. Persamaan garis yang akan kita bahas kali ini juga disajikan dalam sistem koordinat kartesius.PPPaadaPPPPddA Persamaan arisUntuk menentukan letak suatu benda yang berada di ruangan tertentu kita menggunakan sebuah koordinat. Pada koordinat kartesius terdapat dua buah garis yang menjadi acuan dalam menentukan posisi atau letak suatu titik. Kedua garis ini saling tegak lurus dan berpotongan di titik pusat (0,0). Garis-garis yang saling tegak lurus ini untuk selanjutnya disebut sebagai sumbu koordinat. Letak sebuah titik pada sistem koordinat kartesius ditentukan oleh pasangan absis x dan ordinat y.1 Sistem Koordinat KartesiusContohTentukanlah letak titik H, E, R, dan U pada sistem koordinat berikut!Penyelesaian:H = (3, 4) ; E = (7, -2) ; R = (-4, -4) ; U = (-5, 3) EXHYUR–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2–1–2–3–4–5–6–71234567891234567TokohRene Descartes yang dikenal sebagai Cartesius merupakan seorang À lsuf dan matematikawan berkebangsaan Prancis. Ia merupakan pencipta sistem koordinat kartesius yang mempengaruhi perkembangan kalkulus modern. (Sumber: Encarta)
50Matematika SMP Kelas VIIIJika diketahui sebuah pemetaan f(x) = 2x + 1 dengan daerah asal 0 < x < 5 dengan x∈R, maka kalian dapat menggambarkan graÀ k fungsinya seperti gambar di samping.Dalam permasalahan tersebut, persamaan f(x) = 2x + 1 dapat kita ubah menjadi persamaan y = 2x + 1. Dalam graÀ k terlihat bahwa graÀ k fungsinya berupa garis lurus, mengapa demikian? Persamaan y = 2x + 1 disebut persamaan garis lurus atau persamaan garis. Secara umum bentuk persamaan garis adalah sebagai berikut. px + qy = r dimana p ≠ 0 dan q ≠ 0Jika masing masing ruas dari persamaan px + qy = r kita bagi dengan q maka akan diperoleh persamaan garis berikut.y = - pqx + rqBilangan di depan variabel x, yaitu – pq merupakan sebuah konstanta sehingga dapat kita ubah menjadi konstanta lain misalnya m, dan rq dapat kita ganti dengan c. Untuk selanjutnya Latihan Soal1. Tentukanlah koordinat titik A, B, C, D, dan E pada sistem koordinat kartesius di bawah ini!DXABC–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2–1–2–3–4–5–6–71234567891234567EY2. Gambarkan koordinat titik-titik O(2, -3), T(-5, 4), I(6, 4), dan X(-5, -2) pada sistem koordinat kartesius!2 Pengertian Persamaan GarisX5432112345678Y
51Persamaan Garis Luruskita peroleh persamaan garis yang baru sebagai berikut.y = mx + c, dengan m dan c adalah sebuah konstanta.ContohNyatakan persamaan garis berikut ke dalam bentuk y = mx + c!a. 3x + 4y = 12 b. 4x – 2y – 6 = 0Penyelesaian:a. 3x + 4y = 12 ⇔ 4y = –3x + 12⇔ y = – 34x + 3b. 4x – 2y – 6 = 0 ⇔ –2y = –4x + 6⇔ y = 2x - 3Latihan SoalNyatakan persamaan garis berikut ke dalam bentuk y = mx + c!1. 2x – 5y = 7 8. –6x – 3y = 122. 5x + 3y = –15 9. 6x + 3y – 12 = 03. –3x + 6y = 8 10. –4x + 5y – 16 = 0 4. –5x + 4y = –10 11. 7x – 3y – 21= 05. 4x + y = 12 12. 8x + 3y -2x = 216. 12x + 3y = 5 13. 2x + y - 4y = 107. x + 4y = 16 14. 4x – 3y = 7x + 123 Menggambar Garis Lurus Pada Bidang KartesiusUntuk menggambar sebuah garis kalian cukup menentukan dua buah titik yang memenuhi persamaan garis yang diberikan.Untuk menggambar garis dengan persamaan y = mx + c, langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.a. Tentukan dua buah titik yang memenuhi persamaan y = mx + c dengan cara memasukkan nilai x pada persamaannyab. Tarik garis lurus pada kedua titik tersebutPerhatikan contoh berikut.
52Matematika SMP Kelas VIIIContohGambarkan graÀk persamaan garis y = 2x + 2!Penyelesaian:x02y26Persamaan garis y = 2x + 2 akan melewati titik (0, 2) dan (2, 6). X04321123456y = 2x + 2(2,6)Y(2,2)-1-2-3-4Kerjakan pada buku latihanmu!Lengkapilah titik-titik yang diberikan untuk menggambar graÀ k persamaan y = 3x + 1!Cara Ix01 2 3y1.........GraÀ k y = 3x + 1 akan melewati titik (0, 1) , (1, ...), (2, ...), dan (3, ...). Gambarkan graÀ knya dalam bidang kartesius!Cara IIx24y......GraÀ k y = 3x + 1 akan melewati titik (2,...) dan (4,...). Gambarkan graÀ knya!Apakah graÀ k yang diperoleh pada cara I sama dengan graÀ k cara II? Apa yang dapat kamu simpulkan? Dari contoh di atas dapat dibuktikan bahwa hanya dengan dua buah titik kita dapat menggambar sebuah garis. Agar kalian lebih memahaminya, lakukan kegiatan berikut.Tugas
53Persamaan Garis LurusContohLatihan SoalGambarlah graÀ k garis lurus yang memenuhi persamaan berikut! Tentukan dua buah titik potongnya terlebih dahulu!1. y = x + 2 5. y = –x + 22. y = 2x – 1 6. y = –2x – 23. y = 3x + 1 7. 6x + 3y – 21 = 04. y = 4x8. x – 3y – 21 = 0 Tahukah kalian bagaimana menentukan persamaan garis apabila diketahui gambarnya pada bidang kartesius? Perhatikan gambar per-saman garis di samping! Misalkan persamaan garis pada gambar di samping adalah y = mx + c. Kita dapat menentukan nilai m dan c karena terdapat dua buah titik yang dilewati oleh persamaan garis tersebut, yaitu titik (0,0) dan (2, 5).Kedua titik tersebut kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan y = mx + c sehingga diperoleh hasil sebagai berikut.(0, 0) ⇔ 0 = m(0) + c(2, 5) ⇔ 5 = m(2) + c⇔c = 0 ⇔ 5 = 2m + 0⇔m = 52Jadi, persamaan garis pada gambar tersebut adalah y = 52x. Dari permasalahan tersebut dapat ditarik kesimpulan bahwa persamaan garis yang melalui titik pusat (0,0) dan titik (a, b) dengan a≠ 0 adalah y = bax.4 Menentukan Persamaan Garis yang Digambar Pada Bidang KartesiusTentukan persamaan garis dari gambar di samping!Penyelesaian:a = 4, dan b = 5. Persamaan garisnya adalah y = 54xX04321123456(2,5)Y(0,0)-1-2-3-4X0432112345(4,5)Y-1-2-3-4
54Matematika SMP Kelas VIII Dalam kasus khusus, persamaan garis lurus yang sejajar dengan sumbu X memiliki bentuk y = c. Sedangkan persamaan garis yang sejajar sumbu Y memiliki bentuk x = c, dimana c adalah konstanta.x = 3y = 5XYLatihan SoalTentukan bentuk persamaan garis pada soal-soal berikut!1. 2. 3. 4.X043211234Y(3,2)-1-2-3-4X0432112345Y(4,-3)-1-2-3-4-1-2-3X0432112345Y(4,7)-1-2-3-467X0432112345Y(-3,5)-1-2-3-4-1-2-3B radienPernahkah kalian melewati jalan yang naik dan turun seperti halnya jalan-jalan di daerah pegunungan? Tahukah kalian bahwa dalam pembuatan jalan yang menanjak dan berkelok-kelok diperlukan perhitungan tertentu agar kendaraan
55Persamaan Garis Lurusmudah melewatinya. Salah satu perhitungan matematika yang harus diperhatikan dalam pembangunan jalan seperti itu adalah kemiringannya. Perhatikan gambar disamping! Untuk men jangkau dan memadamkan titik api yang menjadi penyebab kebakaran, para petugas pemadam kebakaran menggunakan tangga dengan kemiringan tertentu. Tahukah kalian mengapa tangga yang digunakan oleh pemadam kebakaran posisinya miring?Jika kita menganggap tangga pada gambar tersebut adalah satu garis lurus maka garis tersebut memiliki kemiringan tertentu. Kemiringan ini dalam matematika dikenal dengan sebutan gradien. Jadi, gradien suatu garis adalah ukuran kemiringan atau kecondongan suatu garis. Selain itu gradien juga disebut sebagai koeÀ sien arah pada suatu garis lurus dan dilambangkan dengan huruf m.1 Gradien Garis yang Melalui Titik Pusat (0,0) dan Titik (x, y)Kalian sudah mengetahui bahwa persamaan garis yang melalui titik pusat (0,0) dan titik (x, y) adalah y = mx. Perhatikan contoh berikut.Salin dan kerjakanlah pada buku latihanmu!Perhatikan persamaan garis pada gambar berikut ini!Bandingkan komponen x dengan komponen y ruas garis OA, OB, OC, dan OD pada garis y = 2x. Kemudian isilah datanya pada tabel berikut ini!ContohTentukanlah gradien persamaan garis yang melalui titik pusat dan titik (3, 5)!Penyelesaian:Persamaan garis yang melalui titik (0, 0) dan (3, 5) adalah y=53x. Sehingga gradiennya adalah 53.Sekarang kita akan menunjukkan bahwa gradien dari persaman garis y = mx adalah m. Tugas
56Matematika SMP Kelas VIIIBerdasarkan kegiatan tersebut kalian akan menemukan kesimpulan bahwa perbandingan antara komponen y dengan komponen x pada setiap ruas garis adalah sama. Nilai perbandingan tersebut dinamakan gradien. Jadi, persamaan garis y = mx memiliki gradien m dengan m = yx.Latihan Soal1. Gambarkan garis yang melalui titik pusat (0,0) dan titik-titik berikut ini. Kemudian tentukanlah gradien garis tersebut!a. (3, 4) d. (5, 7) b. (-4, 8) e. (2, -5)c. (5, 7) f. (-3, -9)2. Perhatikan gambar di samping ini! Tentukan:a. Persamaan garisnya!b. Gradien dari persamaan tersebut!e(–8, 2)a(5, 8)b(9, –4)c(2, –8)–1d(–8, –6)–2–3–4–5–6–7–8–9–1–2–3–4–5–6–7–8–912345 67 891234567892 Gradien Garis yang Melalui Dua Buah Titik (x1,y1) dan (x2,y2)Tidak selamanya bahwa sebuah garis itu akan melewati titik pusat (0,0). Jika suatu garis tidak melewati titik pusat (0,0), dapatkah kalian menentukan gradiennya? Komponen xKomponen yKomponen xKomponen yOA12....OB.........OC.........OD.........Bagaimana nilai perbandingan antara komponen ydan komponen x pada setiap ruas garis? Bagaimana hubungannya dengan garis y = 2x? Kemukakan kesimpulanmu!12345612345678(1, 2)(2, 4)(3, 6)(4, 8)y = 2xDCBAXY
57Persamaan Garis LurusKerjakan pada buku latihanmu.Perhatikan persamaan garis pada gambar berikut.Bandingkan komponen x dengan komponen y ruas garis PQ, QR, dan RS pada garis y = x + 2. Isilah datanya pada tabel berikut!Komponen xKomponen yKomponen yKomponen xPQxQ – xP = 3 yQ – yP = 31QRxR – xQ = ... yR – yQ = ......RSxS – xR = ... yS – yR = ......Bagaimana nilai perbandingan antara komponen y dan komponen x pada setiap ruas garis? Bagaimana hubungannya dengan garis y = x + 2? Kemukakan kesimpulanmu!y = x + 212345612345(0, 2)(3, 5)(6, 8)SRQP786789(–3,0)Berdasarkan hasil kegiatan di atas, diperoleh kesimpulan bahwa perbandingan komponen x dan komponen y pada setiap ruas garis adalah sama, yaitu 1. Bilangan 1 ini merupakan gradien dari persamaan garis y = x + 2. Jadi, persaman garis y = mx, c≠ 0 memiliki gradien m dengan m = y2 – y1x2 – x1.ContohTentukanlah gradien persamaan garis yang melalui titik (6, 2) dan titik (3, 5)!Penyelesaian:x1 = 6; y1 = 2; x2 = 3; y2 = 5m = y2 – y1x2 – x1 = 5 – 23 – 6 = 3–3 = –1Jadi, gradien persamaan garisnya adalah -1.Latihan Soal1. Gambarkan garis yang melalui titik-titik berikut ini. Kemudian tentukan gradien dari garis tersebut!a. (2, 4) dan (5, 8) c. (-1, 3) dan (3, -5)b. (1, 3) dan (6, 2) d. (-5, 4) dan (1, -2)Agar kalian lebih memahami bagaimana mencari gradien dari dua buah persamaan, lakukanlah kegiatan berikut.Tugas
58Matematika SMP Kelas VIII2. Perhatikan gambar berikut ini! Tentukan gradien garis l, m, n, dan o!(–7, 9)(–7, 5)(–5, 1)(–1, –7)(8, –8)(10, 2)(7, 5)(1, 4)lmno3 Gradien Garis Yang Sejajar Sumbu-x dan Sumbu-yUntuk menentukan gradien garis yang sejajar sumbu-x dan gradien garis yang sejajar sumbu-y kita dapat menggunakan rumus m = y2 – y1x2 – x1. Perhatikan gambar di samping! Garis o sejajar dengan sumbu-x sedangkan garis n sejajar dengan sumbu-y. Pada gambar terlihat dengan jelas bahwa garis o melewati titik (-4, 2) dan (5, 2). Gradien garis o adalah m = 2 – 25 – (–4) = 09 = 0.Jadi, gradien garis yang sejajar sumbu-x adalah 0. Perhatikan garis n di samping! Garis n melewati titik (4, 8) dan (4, -5). Gradien garis n adalah m = –5 – 84 – 4 = 130 = (tidak dideÀ nisikan).Jadi, gradien garis yang sejajar sumbu-y tidak dideÀ nisikan.(4, 8)(-4, 2)(4, –5)(5, 2)0nyoxBilangan nol yang kita kenal sekarang ini memiliki perjalanan yang cukup panjang. Perjalanan ini bisa kita telusuri dari asal katanya. Dalam bahasa Inggris, bilangan nol disebut zero. Kata zero ini berasal dari bahasa Italia, zeÀ ro yang diserap dari bahasa Arab, saÀ ra yang berarti kosong. Math Info
59Persamaan Garis LurusGradien garis yang sejajar sumbu-x adalah 0. Bagaimana dengan gradien dua buah garis yang saling sejajar seperti terlihat pada gambar berikut? Perhatikan gambar di bawah ini kemudian lakukan kegiatan di bawah ini untuk mencari gradien garis yang saling sejajar. Apa yang dapat kalian simpulkan berdasarkan kegiatan tersebut?4 Gradien Garis Yang Saling SejajarSalin dan kerjakan di buku latihan kalian!Carilah gradien ruas garis AB, PQ, MN, dan RS pada gambar di atas dengan melengkapi titik-titik berikut ini!• Titik A (1, 4) ; B (6, 11) Gradien AB = 11 – 46 – 1 = 75• Titik P (2,2) ; Q (7,9) Gradien PQ = ... – 27 – ... = 75• Titik M (...,...); N (...,...) Gradien MN = 10 – 311–6 = ......• Titik R (1,4); S (6,11) Gradien RS = ... – ...... – ... = 75Jadi gradien garis AB = PQ = MN = RS = 75.xyBNQSMRPA1234567891011123456789101112130Tugas
60Matematika SMP Kelas VIIIContohGaris k memiliki persamaan y = 2x + 5. Jika garis l tegak lurus garis k tentukanlah gradien garis l!Penyelesaian:ml = 2 ; mk× ml = –1 ⇒ml = –1mk = –12 = -12Jadi, gradien garis l adalah -12.Latihan SoalBuatlah 5 buah garis (beserta koordinatnya) yang sejajar dengan garis AB pada bidang koordinat di samping, kemudian tunjukkan bahwa gradien dari masing-masing garis yang kalian buat adalah sama!yBAx5 Gradien Garis yang Saling Tegak LurusSelain kedudukan dua buah garis yang sejajar, terdapat pula kedudukan dua buah garis yang saling tegak lurus. Bagaimana gradien garis yang saling tegak lurus? Apakah gradiennya sama? Perhatikan contoh berikut.Perhatikan gambar berikut!Garis p tegak lurus garis q dan garis r. Lengkapilah tabel berikut!GarisGradienpmp = 2 – 25 – (–4)= ...... = ...yx(-2,6)(4,3)(0,4)(-4,1)(-3,-2)(2,-2)qrTugas
61Persamaan Garis LurusGradien dua buah garis yang saling tegak lurus apabila dikalikan hasilnya sama dengan –1. Kalian sudah buktikan hal ini dalam kegiatan di atas. Jadi, jika l adalah sebuah garis yang tegak lurus dengan garis p maka berlaku ml× mp = –1.Latihan Soal1. Persamaan garis g adalah y = 5x – 2. Jika garis h diketahui tegak lurus garis g, tentukan gradien garis h!2. Garis l tegak lurus garis m. Jika persamaan garis l adalah y = 35x + 2, tentukan gradien garis m!3. Garis p melalui titik (4, -5) dan (2, -3). Jika garis q tegak lurus garis p, tentukan gradien garis q!4. Garis a berpotongan tegak lurus dengan garis b pada titik (2, 4). Jika garis a melalui titik (-5, -2), tentukan gradien garis b!5. Garis k melalui titik (-2, 5) dan (2, 4). Jika garis k tegak lurus garis l, tentukan gradien garis l!C Menentukan Persamaan aris Jika diketahui gradien sebuah garis yang melalui suatu titik tertentu, dapatkah kalian menentukan persamaan garisnya? Atau dapatkah kalian menentukan gradien sebuah garis jika yang diketahui hanya dua buah titik yang dilalui oleh garis tersebut?1 Menentukan Persamaan Garis yang Melalui Sebuah Titik (a,b)dengan Gradien mKalian semua pasti sudah mengenal bentuk umum dari persamaan garis, yaitu y = mx + c. Untuk menentukan persamaan qmq = 6 – ...–2 – ...= ...... = ... rmr = 1 – ...–4 – ...= ...... = ... Apa yang dapat kalian simpulkan tentang dua buah garis yang saling tegak lurus? Bagaimana perkalian gradien dari garis-garis tersebut?mp × mq = ... × ... = ...mp × mr = ... × ... = ...
62Matematika SMP Kelas VIIIgaris yang melalui titik (a, b) dengan gradien m, s u b s t i t u s i k a n x = a dan y = b pada persamaan garis y = mx + c sehingga diperoleh:b = ma + c atau c = b – maLangkah selanjutnya adalah mensubstitusikan nilai c pada persamaan awal, yaitu y = mx + c sehingga diperoleh:y = mx + (b – ma)⇔ y – b = mx – ma⇔ y – b = m(x – a)Jadi, persamaan garis yang melalui titk (a, b) dengan gradien madalah y – b = m(x – a).ContohTentukan persamaan garis yang melalui titik (-4, 5) dengan gradien 2!Penyelesaian:a = –4; b = 5; m = 2y – b = m(x – a) ⇔ y – 5 = 2(x – (–4))⇔ y – 5 = 2(x + 4)⇔ y – 5 = 2x + 8⇔ y = 2x + 13 Latihan SoalTentukan persamaan garis yang melalui titik-titik dan memiliki gradien berikut ini!1. (3, 6), gradien 3 6. (4, 5), gradien -22. (-4, 2), gradien 2 7. (-2, 2) gradien -33. (5, -1), gradien 2 8. (3, -4) gradien -44. (-2, -5), gradien 4 9. (-3, -2), gradien -25. (1, 3), gradien 3/2 10. (2, 6), gradien 22 Menentukan Persamaan Garis yang Melalui Titik (x1,y1) dan (x2,y2)Kalian masih ingat cara mencari gradien garis yang melalui dua buah titik. Coba kalian ingat-ingat kembali bagaimana cara mencari gradien apabila diketahui dua buah titik, misalkan (x1, y1) dan (x2, y2)! Gradien garis yang melalui titik tersebut adalah
63Persamaan Garis Lurusyx0(x1, y)(x2, y2)m = y2 – y1x2 – x1 atau m = y1 – y2x1 – x2. Dengan menggunakan rumus pada bagian sebelumnya kalian akan peroleh persamaan garis berikut.y – y1 = y2 – y1x2 – x1 (x – x1) atau y – y2 = y1 – y2x1 – x2 (x – x2) dimana x1 x2.ContohTentukan persamaan garis yang melalui titik (3, 5) dan (-2, 4)!Penyelesaian:x1 = 3; y1 = 5; x2 = –2; y2 = 4;y – y1 = y2 – y1x2 – x1 (x – x1)⇔ y – 5 = 4 –5–2 – 3 (x – 3) ⇔ y – 5 = 15 (x – 3)⇔ y – 5 = 15x – 35⇔ y = 15x + 225Latihan SoalTentukan persamaan garis yang melalui titik-titik berikut!1. (3, 6) dan (4, 2) 6. (-2, 6) dan (1, -4)2. (4, 5) dan (-3, 6) 7. (-3, -5) dan (-2, 3)3. (2, 4) dan (-1, -2) 8. (-1, -4) dan (1, -2)4. (-1, 5) dan (-3, 2) 9. (-4, -3) dan (-1, -5)5. (2, 4) dan (-2, 2) 10. (12, 8) dan (4, 5)
64Matematika SMP Kelas VIIIHal pertama yang harus dilakukan sebelum menentukan persamaan garis yang sejajar dengan garis lain dan melalui sebuah titik adalah menentukan gradien garis-garis sejajar tersebut. Bagaimana caranya? Perhatikan gambar di samping! Garis h memiliki persamaan y = mx + c. Garis k sejajar garis h dan melalui titik (a,b) sehingga gradien garis k (mk) sama dengan gradien garis h (mh), yaitu m. (Ingat bahwa gradien garis yang sejajar adalah sama).Berdasarkan rumus sebelumnya, kita peroleh persamaan garis k adalah y – b = m(x – a).Jadi, persamaan garis yang sejajar dengan garis y = mx + c dan melalui titik (a, b) adalah y – b = m(x – a).3 Menentukan Persamaan Garis yang Sejajar Dengan Garis Lain dan Melalui Sebuah Titikyx0(y = mx + c)(a, b)khContohTentukan persamaan garis yang melalui titik (3, 5) dan sejajar garis y = 2x – 4!Penyelesaian:Gradien garis y = 2x – 4 dalah m = 2. Persamaan garis yang melalui titik (3, 5) dan sejajar garis y = 2x – 4 adalah y – 5 = 2(x – 3)⇔ y – 5 = 2x – 6⇔ y = 2x – 1Latihan SoalTentukan persamaan garis pada soal-soal berikut ini!1. Melalui titik (-4, 5) dan sejajar garis y = 3x – 4 2. Melalui titik (2, -3) dan sejajar garis y = –2x + 3 3. Melalui titik (3, 6) dan sejajar garis y = 34x – 1 4. Melalui titik (4, 5) dan sejajar garis y = 2x - 55. Melalui titik (-2, -1) dan sejajar garis 2x – 3y – 6 = 06. Melalui titik (4, -3) dan sejajar garis 4x + 2y + 1 = 0 7. Melalui titik (2, -4) dan sejajar garis x - 2y = 8
65Persamaan Garis Lurus4 Menentukan Persamaan Garis yang Tegak Lurus Dengan Garis Lain dan Melalui Sebuah TitikMasih ingatkah kalian bagaimana gradien dua buah garis yang saling tegak lurus seperti terlihat pada gambar di samping? Jika diketahui persamaan garis q adalah y = mx + c dan garis ptegak lurus garis q dan melalui titik (a,b), dapatkah kalian mencari persamaan garis p? Perhatikan contoh berikut.qypxy = mz + c(a,b)ContohTentukan persamaan garis yang melalui titik (-2, 4) dan tegak lurus garis y = 2x – 4!Penyelesaian:Gradien garis y = 2x – 4 adalah m = 2. Persamaan garis yang melalui titik (-2, 4) dan tegak lurus garis y = 2x – 4 adalah y – b = – 1m (x – a) ⇔ y – 4 = – 12 (x – (–2)) ⇔ y – 4 = – 12 (x + 2)⇔ y – 4 = – 12x – 1⇔ y = – 12x + 3Jadi persamaan garis yang melalui titik (-2, 4) dan tegak lurus garis y = 2x – 4 adalah y = – 12x + 3.Berdasarkan contoh di atas dapatkah kalian menentukan rumus untuk mencari persamaan garis yang melalui titik (a, b) dan tegak lurus garis y = mx + c? Agar kalian lebih memahaminya, lakukanlah kegiatan berikut ini.
66Matematika SMP Kelas VIIILatihan SoalTentukan persamaan garis pada soal-soal berikut ini!1. Melalui titik (4, 5) dan tegak lurus garis y = 2x - 3 2. Melalui titik (-2, -3) dan tegak lurus garis y = –x + 5 3. Melalui titik (2, -3) dan tegak lurus garis y = - 23x – 14. Melalui titik (-4, -5) dan tegak lurus garis y = -3x + 45. Melalui titik (-2, -1) dan tegak lurus garis 3x – y + 2 = 0 D Titik Potong Dua Buah arisDua buah garis yang tidak sejajar akan berpotongan di satu titik. Perhatikan gambar di bawah ini!utsrqpPada gambar terlihat bahwa garis p dan q , garis r dan s, serta garis t dan u akan berpotongan di satu titik. Misal terdapat dua buah garis yang tak sejajar dengan persamaan y = a1x + b1 d a n Jika kalian melengkapi titik-titik dalam kegiatan tersebut dengan benar maka akan diperoleh sebuah kesimpulan, yaitu persamaan garis yang melalui titik (a, b) dan tegak lurus garis y = mx + c adalah y – b = – 1m (x – a). Berdasarkan penjelasan sebelumnya lengkapilah titik-titik berikut ini! Salin dan kerjakan pada buku latihanmu!Persamaan garis q adalah y = mx + c maka m = ...Garis p tegak lurus garis q sehingga: mp × mq = ... ⇔mp = – ...... = – 1...Persamaan garis p yang bergradien mp = – 1... dan melalui titik (a, b) adalah:y – ... = – ...... (x – ...)Tugas
67Persamaan Garis Lurusy = a2x + b2, a1≠a2 dan berpotongan di titik (x0, y0). Titik perpotongan dua garis tersebut dapat dicari dengan mensubstitusikan (x0, y0) ke masing-masing persamaan, sehingga diperoleh:y0 = a1 x0 + b1 ...(1)y0 = a2 x0 + b2 ... (2)Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:a1 x0 + b1 = a2 x0 + b2⇔ a1x0 – a2 x0 = b2 – b1⇔ x0(a1 –a2) = b2 – b1⇔ x0 = b2 – b1a1 – a2 Untuk mencari nilai y0 dapat dilakukan dengan cara mensubstitusikan nilai x0 = b2 – b1a1 – a2 ke dalam persamaan (1) atau persamaan (2). Misalkan kita memasukkan nilai x0 ke persamaan (1) sehingga diperoleh: y0 = a1 x0 + b1 ⇔ y0 = a1 b2 – b1a1 – a2+b1 ContohTentukan titik potong garis y = 2x – 4 dan y = -3x + 6!Penyelesaian:Cara Ia1 = 2; b1 = –4; a2 = –3; b2 = 6 x0 = b2 – b1a1 – a2 = 6 – (–4)2 – (–3) = 105 = 2 y0 = 2x+ (–4) = 2(2) – 4 = 0Jadi titik potongnya adalah (2, 0) Cara IIy = 2x – 4 ... (1)y = –3x + 6 ... (2)Dari (1) dan (2) diperoleh: 2x – 4 = –3x + 6 ⇔ 2x+ 3x= 6 + 4
68Matematika SMP Kelas VIII⇔ 5x= 10⇔ x= 2Substitusi x = 2 ke persamaan (1) atau (2) sehingga:y= –3x + 6y= –3(2) + 6 = –6 + 6 = 0Jadi titik potongnya adalah (2, 0)Latihan SoalTentukanlah titik potong persamaan garis pada soal-soal berikut ini!1. Garis y = –x + 2 dan y = x – 12. Garis y = 3x + 4 dan y = 2x – 33. Garis y = –2x + 5 dan y = 5x – 14. Garis y = –x + 2 dan y = x + 15. Garis y = 13x – 53dan y = – 25x + 156. Garis y = -5x - 2 dan y = -2x + 1E Penera an onse Persamaan aris Lurus dalam ehidu anDalam kehidupan sehari-hari kalian akan menemukan permasalahan yang dapat diselesaikan dengan konsep persamaan garis lurus. Perhatikan contoh berikut.ContohIbu Irma membeli 2 kg apel dan 5 kg jeruk dengan harga Rp 46.000,00. Ibu Novi membeli 3 kg apel dan 4 kg jeruk dengan harga Rp 48.000,00. Tentukan harga 2 kg apel dan 3 kg jeruk! Penyelesaian:Misalkan:x = harga 1 kg apel dan y = harga 1 kg jeruk 2x + 5y = 46.000 ⇒y = – 25x + 9.200 ... (1)3x + 4y = 48.000 ⇒y = – 34x + 12.000 ... (2)Dari (1) dan (2) diperoleh:
69Persamaan Garis Lurus– 25x + 9.200 = – 34x + 12.000⇔ – 25x + 34x = 12.000 – 9.200⇔ – 820x + 1520x = 12.000 – 9.200⇔ 720x = 2.800 ⇔ x = 2.800 × 207= 8.000 Substitusi x = 8.000 ke persamaan (1)y = – 25x + 9.200 = – 25 (8.000) + 9.200 = – 3.200 + 9.200 = 6.000Harga 2 kg apel dan 3 kg jeruk adalah:2x + 5y = 2(8.000) + 3(6.000) = 16.000 + 18.000 = 34.000Jadi, harga 2 kg apel dan 3 kg jeruk adalah Rp 34.000,00.Latihan Soal1. Trisno membeli 4 buku tulis dan 3 pensil di koperasi sekolah dengan harga Rp 16.750,00. Ilham membeli 2 buku tulis dan 1 pensil di tempat yang sama dengan harga Rp 7.250,00. Tentukan harga 3 buku tulis dan 4 pensil yang dibeli Aam di koperasi tersebut!2. Ayah membeli 2 kg rambutan dan 3 kg mangga seharga Rp 28.000,00 di toko buah “Manis Rasanya”. Di tempat yang sama Pak Amran membeli 4 kg rambutan dan 2 kg mangga seharga Rp 32.000,00. Tentukan harga 3 kg rambutan dan 4 kg mangga yang dibeli Paman di toko buah tersebut!3. Alif membeli 4 baju dan 5 celana dengan harga Rp 340.000,00. Di toko yang sama Ima membeli 3 baju dan 7 celana dengan harga Rp 385.000,00. Tentukan uang yang harus dibayarkan Lela jika ia membeli 5 baju dan 3 celana di toko yang sama dengan Alif dan Ima!4. Sebuah tanah yang berbentuk persegi panjang mempunyai keliling 56 m. Jika panjangnya 8 meter lebih dari lebarnya, tentukan ukuran tanah yang dimaksud (panjang dan lebar tanah)!
70Matematika SMP Kelas VIIIRangkuman1. Sumbu koordinat adalah dua garis yang saling tegak lurus dan berpotongan di satu titik pusat (0,0) yang menjadi acuan dalam menentukan posisi atau letak suatu titik.2. Bentuk umum persamaan garis adalah: • y = mx yang melalui titik (0,0) dan titik (x, y) • y = mx + c yang melalui titik (0, c) dan titik (x, y + c)3. Gradien garis yang melalui titik (0,0) dan (x, y) adalah m = yx.4. Gradien garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2) adalah m = y2 – y1x2 – x1.5. Gradien garis yang sejajar sumbu x sama dengan 0.6. Gradien garis yang sejajar sumbu y tidak dideÀ nisikan.7. Gradien dua buah garis yang sejajar adalah sama.8. Gradien dua buah garis yang saling tegak lurus adalah m1x m2= -1.9. Persamaan garis yang melalui titik (a, b) dan mempunyai gradien m adalahy - b = m(x - a).10. Persamaan garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2) adalah y - y1 = m(x - x1) atau y - y2 = m(x - x2).11. Persamaan garis yang melalui titik (a, b) dan tegak lurus garis y = mx + c adalah y -b = -1m(x - a).Otak-Atik MatematikaSebuah garis p memiliki gradien m dan melalui titik (a,b). Jika garis p berpotongan dengan garis qyang persamaannya y = 4mx + c, dapatkah kalian tentukan nilai b jika diketahui kedua garis tersebut berpotongan di x = b – c3m.Petunjuk: Tentukan persamaan garis p dan cari titik potongnya dengan persamaan garis q! O
Uji Kemampuan Bab 371A. Pilihlah satu jawaban yang paling tepat, a, b, c, atau d! Tuliskan pada lembar jawabanmu!1. Gradien persamaan garis yang melalui titik pusat dan titik (2, 5) adalah ....a. 25 c. – 25b. 52d. – 522. Gradien persamaan garis yang melalui titik (4, 2) dan titik (2, 5) adalah ....a. – 32 c. 32b. – 23d. 233. Garis g sejajar dengan garis h. Jika persamaan garis h adalah y = 34x – 5 maka gradien garis g adalah ....a. – 43 c. 34b. – 34d. 434. Persamaan garis p adalah 3y – 6x = 12. Jika garis q tegak lurus garis p, gradien garis q adalah ....a. 2 c. – 12b. –2 d. 125. Garis g memiliki gradien -2 dan melalui titik (2, 3). Persamaan garis g adalah ....a. y = –2x + 1 c. y = –2x + 7 b. y = –2x – 1 d. y = –2x – 7 6. Persamaan garis berikut yang memiliki gradien – 13 adalah ....a. 3y + x = 2 c. y + 3x = 2 b. 3y – x = 2 d. y – 3x = 27. Persamaan garis yang melalui titik (2, 1) dan titik (-2, -7) adalah ....a. y = –2x + 5 c. y = 2x – 3 b. y = –2x + 3 d. y = 2x + 3Uji Kemampuan
72Matematika SMP Kelas VIII8. Garis g sejajar garis h. Jika garis g melalui titik (-3, 4) dan persamaan garis hadalah y = –3x + 2, maka persamaan garis g adalah ....a. y = –3x + 9 c. y = –3x + 3 b. y = 3x + 5 d. y = -3x - 5 9. Garis p tegak lurus garis q. Jika persamaan garis p adalah y = – 12x + 1 dan garis q melalui titik (-1,-4) maka persamaan garis q adalah ....a. y = 2x + 2 c. y = 2x – 2 b. y = –2x – 2 d. y = 12x + 2 10. Persamaan garis lurus yang melalui titik (-2, -1) dan tegak lurus garis 4x – 3y + 5 = 0 adalah ....a. 4y + 3x + 10 = 0 c. 4y – 3x + 10 = 0 b. 4y + 3x – 10 = 0 d. 4y – 3x – 10 = 0 11. Persamaan garis yang melalui titik (-3, 2) dan tegak lurus garis yang melalui titik (5, 2) dan (-5, -3) adalah ....a. y + 2x +4 = 0 c. –y – 2x + 4 = 0 b. y + 2x – 4 = 0 d. y – 2x + 4 = 0 12. Titik P = (a, 2) dan Q = (3, b) terletak pada garis 3x – 7y = –26, nilai a + b adalah ....a. 1 c. 2b. –1 d. 313. Titik potong garis y = –x + 2 dan y = x – 1 adalah ....a. 32– , –12⎛⎝⎛⎝c. 32 ,– 12⎛⎝⎛⎝b. 32– , 12⎛⎝⎛⎝d. 32– ,– 12⎛⎝⎛⎝14. Persamaan garis yang melalui titik potong garis y = 2x –1 dan y = 4x – 5 serta tegak lurus garis yang melalui titik A = (2, -4) dan B = (-2, -2) adalah ....a. 2x + y = 1 c. 2x – y = 1 b. 12x + y = 1 d. – 12x – y = 1 15. Ibu Irma membeli 2 kg rambutan dan 5 kg mangga dengan harga Rp 35.000,00. Ibu Novi membeli 4 kg rambutan dan 2 kg mangga dengan harga Rp 22.000,00. Harga 2 kg rambutan dan 3 kg mangga adalah ....a. Rp 25.000,00 c. Rp 23.000,00b. Rp 24.000,00 d. Rp 22.000,0016. Persamaan garis lurus yang melalui titik (2, -1) dan tegak lurus garis 3x + 2y = 4 adalah ....
Uji Kemampuan Bab 373a. 3y + 2x + 7 = 0 c. 3y – 2x - 7 = 0 b. 3y - 2x + 7 = 0 d. 3y + 2x – 7 = 017. Perhatikan pernyataan-pernyataan berikut ini! (i) Garis k tegak lurus dengan garis x + 2y + 7 = 0 (ii) Garis g sejajar dengan garis 3y - 6x - 8 = -2y + 4x - 12 (iii) 2y – 10 = 4x + 5Pernyataan yang nilai gradiennya sama dengan 2 adalah ....a. (i), (ii) c. (ii), (iii)b. (i), (iii) d. (i), (ii), (iii)18. Persamaan garis yang melalui titik pusat (0, 0) dan melalui titik P(-2, 4) adalah ....a. y - 2x = 0 c. y = – 12xb. y + 2x = 0 d. y = 12x19. Titik D = (-a, 3) terletak pada garis 2x + 3y = 15, nilai 3a adalah ....a. 3 c. 9b. –3 d. -920. Titik E = (8, 3b) dan terletak pada garis 4x - 5y = 2, nilai b adalah ....a. 1 c. 3b. 2 d. 4B. Selesaikan soal-soal berikut ini!1. Gambarlah graÀ k persamaan garis lurus yang diberikan dalam soal dengan terlebih dahulu menentukan dua titik potongnya!a. 5x + 3y = –15b. 6x + 3y – 12 = 02. Nyatakan persamaan berikut dalam bentuk y = mx + c!a. 2x + 3y – 12 = 0b. -2x + 3y = 5x + 21c. -x + y = 5 d. 16x – 5y = 2x + 3y - 8e. 3x + y - 7 = x - 2y - 133. Garis g sejajar garis h. Jika garis g melalui titik (-4, 3) dan persamaan garis h adalah y + 3x = 2, tentukan persamaan garis g!4. Garis p tegak lurus garis q. Jika persamaan garis p adalah y = – 13x + 5 dan garis q melalui titik (1, -2), tentukan persamaan garis q!
74Matematika SMP Kelas VIII5. Tentukan gradien dari garis berikut jika diketahui:a. Melalui titik pusat dan titik (2, -4)b. Melalui titik (3,-5) dan titik (4, -2)c. Sejajar dengan garis 2x – 4y = 8 d. Tegak lurus garis –3x – 5y = 15e. Sejajar garis x6. Hayati membeli 3 kg telur dan 5 kg beras dengan harga Rp 54.000,00 di supermarket “Pelita“. Di tempat yang sama Wina membeli 6 kg telur dan 3 kg beras dengan harga Rp 66.000,00. Jika Leni membeli 4 kg telur dan 7 kg beras di supermarket tersebut, berapa rupiah harga belanjaan Leni. Jika ia membayar dengan uang Rp 100.000,00, berapa uang kembalian yang diterima Leni!7. Ayah membeli 3 kg apel dan 2 kg mangga seharga Rp 34.500,00 di toko buah “Manis Rasanya”. Di tempat yang sama Pak Amran membeli 4 kg apel dan 3 kg mangga seharga Rp 48.000,00. Tentukanlah harga 3 kg apel dan 5 kg mangga yang dibeli Paman di toko buah tersebut!A. Pilihan Ganda1. b3. c5. c7. c9. c11. a13. a15. c17. d19. dB. Uraian1. a. Titik potongnya adalah (0, -5) dan (-3, 0)3. y = -3x - 9 5. a. -2c. 12 e. 07. Rp 52.500,00 5x + 3y = -15-3-4-2-1-4-3-5(0, -5)-2-1-50(-3, 0)KUNCI JAWABAN BAB 3